[경인신공]놀면서 배우는 창의융합교실-수학 규칙으로 찾아낸 음계

1/2배 땐 1옥타브·2/3배 땐 완전 5도 ↑
높은음에서 한계… 평균율 반영해 극복

세상 사는 희노애락을 표현하고, 사람의 감정과 분위기를 공유하며 삶을 풍성하게 하는 음악. 음악에 따라 달라지는 영화의 한 장면처럼 자연의 일부인 우리는 음악과 떼려야 뗄 수 없는 존재다. 악보 속 음계에 따라 음악은 밝은 분위기의 곡이 되기도 하고 슬픈 곡조가 되기도 한다.

음계를 만든 사람은 누구일까? 아마도 유명한 음악가라고 생각할 것이다. 하지만 음계를 만든 사람은 '피타고라스의 정리'로 유명한, 바로 수학자 피타고라스다.

피타고라스는 그리스의 철학자면서 수학자다. 그는 자신의 생각을 바탕으로 한 피타고라스 학파라는 종교적 성격을 띤 단체의 교주이기도 했다. 피타고라스 학파에서는 세상의 모든 것들은 모두 수로 이뤄져 있다고 생각했다.



그래서 1은 모든 것은 근원, 2는 여성, 3은 남성, 4는 조화 및 사원소(땅, 공기, 불, 물), 10은 1+2+3+4이기에 아주 심오한 숫자라고 생각했다. 또 수의 약수의 합을 보고 완전수, 결핍수, 과잉수를 판단했고 두 수의 약수의 관계를 비교해 우정수, 부부수 등으로 부르기도 했다.

피타고라스 학파의 믿음은 확고한 것이었다. 하지만 수를 분수로 표현되는 유리수에 한정해서 생각했다는 문제가 있었다. 어느 날 피타고라스의 제자인 히파소스가 분수로 표현되지 않는 소수, 즉 무리수의 존재를 이야기했고 피타고라스 학파 사람들은 그를 지중해 바다에 밀어 살해할 정도였다.

이런 피타고라스가 어떻게 음계를 발견한 것일까. 피타고라스는 어느 날 대장간 앞을 지나가게 됐다. 이때 대장장이들이 쇠를 두드리는 소리가 너무나 듣기 좋았던 것이다. 그래서 그는 현의 길이를 다르게 하면서 자신이 들었던 소리를 만들고자 했다.

주어진 현의 길이를 1/2배하면 원래 음보다 완전 8도(한 옥타브) 높은 음이 되고, 2/3배하면 완전 5도 높은 음을 얻게 된다는 것을 발견한 것이다. 그는 이 두 원리를 가지고 피타고라스 음계를 만들었다.

우리도 이 방법을 이용한다면 피타고라스가 했던 것처럼 악기를 만들 수 있을 것이다. 현행 초등 교과서 <6학년 2학기 6.여러 가지 문제> 단원의 '팬파이프를 만들 수 있어요'에서 피타고라스의 방식으로 팬파이프(팬플룻)를 만드는 내용을 다루고 있다.

집에서 빨대를 이용해 빨대 길이를 다르게 하고 한쪽의 구멍을 테이프나 고무찰흙으로 막아주면 손쉽게 팬플룻을 만들 수 있다. 이 때 쓰이는 빨대의 구멍이 슬러시용 빨대나 낚시할 때 사용하는 찌통같이 큰 것일 수록 실제 악기와 비슷한 것을 만들 수 있다.

하지만 현재 우리가 사용하고 있는 음계는 피타고라스 음계는 아니다. 앞에서 이야기 한 것 처럼 피타고라스는 모든 세상이 유리수(분수)로만 이뤄졌다고 생각했기 때문에 피타고라스 음계에도 큰 문제점을 갖고 있었다. 피타고라스 콤마라는 문제점으로 음을 높이는 과정을 반복하다보면 조금씩 음의 차이(간격)가 생기게 되는 것이다.

그래서 현재 우리가 사용하고 있는 음계는 '평균율'을 이용해 만들어졌다. 피타고라스 음계가 유리수(분수)를 기초로 했다면, 평균율은 무리수를 기초로 만들어진 것으로 피타고라스 음계의 단점인 피타고라스 콤마를 극복할 수 있다.

우리는 자칫 수학이란 계산만 하는 지루하고 딱딱한 학문이라 생각할 수 있다. 하지만 갈릴레오의 이야기처럼 '자연은 수학이란 언어로 쓰여진 거대한 하나의 책'이다.

/김주창 한백초 교사

※위 창의융합교실은 지역신문발전기금을 지원받았습니다.